Примеры Дифференциальное и интегральное исчисление-1

Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=3x^2-\mathrm{2,}y=5+x$

Решение.

Сделаем чертёж фигуры, ограниченной указанными линиями: $y=3x^2-\mathrm{2,}y=5+x$

Найдём точки пересечения линий:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}y=3x^2-2\\ y=5+x\end{array},\{\begin{array}{l}3x^2-2=5+x\\ y=5+x\end{array},\{\begin{array}{l}3x^2-x-7=0\\ y=5+x\end{array},\\ \{\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{85}}{6}\\ y=\frac{31+\sqrt{85}}{6}\end{array};\{\begin{array}{l}x=\frac{1-\sqrt{85}}{6}\\ y=\frac{31-\sqrt{85}}{6}\end{array}\end{array}$

Найдём площадь фигуры с помощью определённого интеграла: $S={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}(f_2(x)-f_1(x))dx}$ $\begin{array}{l}\end{array}$

$\begin{array}{l}S={\displaystyle \underset{\frac{1-\sqrt{85}}{6}}{\overset{\frac{1+\sqrt{85}}{6}}{\int }}(5+x-(3x^2-2))dx}={\displaystyle \underset{\frac{1-\sqrt{85}}{6}}{\overset{\frac{1+\sqrt{85}}{6}}{\int }}(-3x^2+x+7)dx}={\left(-3\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+7x\right)|}_{\frac{1-\sqrt{85}}{6}}^{\frac{1+\sqrt{85}}{6}}={\left(-x^3+\frac{x^2}{2}+7x\right)|}_{\frac{1-\sqrt{85}}{6}}^{\frac{1+\sqrt{85}}{6}}=\\ =\left(-{\left(\frac{1+\sqrt{85}}{6}\right)}^3+\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{85}}{6}\right)}^2}{2}+7\left(\frac{1+\sqrt{85}}{6}\right)\right)-\left(-{\left(\frac{1-\sqrt{85}}{6}\right)}^3+\frac{{\left(\frac{1-\sqrt{85}}{6}\right)}^2}{2}+7\left(\frac{1-\sqrt{85}}{6}\right)\right)\approx (-\mathrm{4,941}+\mathrm{1,451}+\\ +\mathrm{11,923})-(\mathrm{2,571}+\mathrm{0,938}-\mathrm{9,589})\approx \mathrm{14,51}\end{array}$

$$Ответ: $\mathrm{14,51}$ кв.ед.  

Если все же Вы не смогли разобраться самостоятельно с какими-либо задачами по Высшей математике, то Вы можете заказать у нас решение задач по Высшей математике

новости

поиск по сайту

  2011-2016 г.г. zadanie.by , все права защищены.  

    - --   -  

ИП Пантелей О.А. Св. № 190852728 Мингорисполкома

Ji- -vo