Примеры Векторная алгебра-2

Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп.1-3 векторов требуется: 1) вычислить скалярное произведение; 2) найти модуль векторного произведения; 3) проверить коллинеарность и ортогональность; 4) убедиться, что векторы a, b, c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе. $$\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$$ ; $\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ ; $\overrightarrow{c}=-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ ; $$\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$$  Решение.

1) $5\cdot \overrightarrow{b}=5\cdot (-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})=-5\overrightarrow{i}+10\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$ $3\cdot \overrightarrow{c}=3\cdot (-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})=-9\overrightarrow{j}+6\overrightarrow{k}$

Скалярное произведение векторов $5\cdot \overrightarrow{b}$ и $3\cdot \overrightarrow{c}$ : $$5\overrightarrow{b}\cdot 3\overrightarrow{c}=(-5\overrightarrow{i}+10\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k})\cdot (-9\overrightarrow{j}+6\overrightarrow{k})=(-5)\cdot 0+10\cdot (-9)+5\cdot 6=-60$$ 2) $7\cdot \overrightarrow{a}=7\cdot (-\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k})=-7\overrightarrow{i}+49\overrightarrow{j}-28\overrightarrow{k}$ $-4\cdot \overrightarrow{b}=-4\cdot (-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})=4\overrightarrow{i}-8\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$

Векторное произведение векторов $$7\overrightarrow{a}и-4\overrightarrow{b}$$ : $$\begin{array}{l}7\overrightarrow{a}\times (-4\overrightarrow{b})=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ -7& 49& -28\\ 4& -8& -4\end{array}\right|=\overrightarrow{i}\left|\begin{array}{cc}49& -28\\ -8& -4\end{array}\right|-\overrightarrow{j}\left|\begin{array}{cc}-7& -28\\ 4& -4\end{array}\right|+\overrightarrow{k}\left|\begin{array}{cc}-7& 49\\ 4& -8\end{array}\right|=\\ =(-196-224)\overrightarrow{i}-(28+112)\overrightarrow{j}+(56-196)\overrightarrow{k}==-420\overrightarrow{i}-140\overrightarrow{j}-140\overrightarrow{k}\end{array}$$ $$\left|7\overrightarrow{a}\times (-4\overrightarrow{b})\right|=\sqrt{{(-420)}^2+{(-140)}^2+{(-140)}^2}=\sqrt{215600}=20\sqrt{539}$$ 3) Проверим коллинеарность векторов $$\overrightarrow{c}и\overrightarrow{a}$$ : $$\frac{-1}{0}\ne \frac{7}{-3}\ne \frac{-4}{2}$$ Координаты векторов не пропорциональны, следовательно, $$\overrightarrow{c}и\overrightarrow{a}$$ не коллинеарны. Проверим ортогональность векторов $$\overrightarrow{c}и\overrightarrow{a}$$ $$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=0\cdot (-1)+(-3)\cdot 7+2\cdot (-4)=-27\ne 0$$ Следовательно, векторы не ортогональны.

4) Найдем смешанное произведение векторов $$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$$ : $$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=\left|\begin{array}{ccc}-1& 7& -4\\ -1& 2& 1\\ 0& -3& 2\end{array}\right|=-1\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 2\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}7& -4\\ -3& 2\end{array}\right|+0=-(4+3)+(14-12)=-5\ne 0$$ Следовательно, векторы$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$$ не компланарны и образуют базис.

5) Найдем координаты α, β и γ вектора $$\overrightarrow{d}$$ в этом базисе: $$\overrightarrow{d}=\alpha (-\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k})+\beta (-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})+\gamma (0\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$$ Получим систему уравнений $$\{\begin{array}{l}-\alpha -\beta =2\\ 7\alpha +2\beta -3\gamma =1\\ -4\alpha +\beta +2\gamma =-1\end{array}$$ Решим систему методом Гаусса $$\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 0\\ 7& 2& -3\\ -4& 1& 2\end{array}|\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& -5& -3\\ 0& 5& 2\end{array}|\begin{array}{c}-2\\ 15\\ -9\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 5& 3\\ 0& 0& -1\end{array}|\begin{array}{c}-2\\ -15\\ 6\end{array}\right)$$ Полученная матрица эквивалента системе $$\{\begin{array}{l}\alpha +\beta =-2\\ 5\beta +3\gamma =-15\\ -\gamma =6\end{array}$$ , откуда γ=$$-6$$ β=$$\frac{-15-3\cdot (-6)}{5}=\frac{3}{5}$$ α=$$-2-\frac{3}{5}=-\frac{13}{5}$$ Таким образом, $$\overrightarrow{d}=(-\frac{13}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{c})$$   

Если все же Вы не смогли разобраться самостоятельно с какими-либо задачами по Высшей математике, то Вы можете заказать у нас решение задач по Высшей математике

новости

поиск по сайту

  2011-2016 г.г. zadanie.by , все права защищены.  

    - --   -  

ИП Пантелей О.А. Св. № 190852728 Мингорисполкома

Ji- -vo